作为量子霍尔效应家族中的一个重要成员，分数量子霍尔效应在近十年来的实验和理论研究中都得到了十分广泛的关注。近年来随着冷原子光晶格实验技术的飞速发展，如何在格点模型中实现分数量子霍尔态成为了一个重要研究课题。分数量子霍尔效应是一类由粒子间关联引起的、有分数填充数状态的多粒子凝聚效应，是一种有“拓扑序”的凝聚态系统。它的新奇性表现为带分数电荷的元激发，同时由于其特殊的可容错性拓扑性质从而可实现高保真量子门操作，并使得量子态受到拓扑保护，因而此系统可作为实现拓扑量子计算的平台。
    但是到目前为止，分数量子霍尔效应还只能在强外磁场、极低温的二维电子气中被观测到，在格点系统中实现量子霍尔效应一直是人们关注的课题。1988年Haldane首次提出了不借助于朗道能级实现整数量子霍尔效应的格点模型。随着反常量子霍尔效应的成功实现，人们迫切需要探索晶格型分数量子霍尔效应的实现办法。近期的研究表明，对于一些时间反演对称性破缺的格点模型，如果在拓扑非平庸能带上引入相互作用，在填充数为分数的情况下，有希望使基态成为一种新的强关联拓扑有序态。
    最近，中科院物理研究所/北京凝聚态物理国家实验室（筹）理论室的范桁、曹俊鹏研究员和博士生王栋，与美国普林斯顿大学/北京计算科学研究中心的刘钊博士合作，对如何在具有可调拓扑能带的格点系统中实现分数量子霍尔态做了理论研究，取得了重要进展。他们设计了一种可调参数的Hofstadter模型的变体，得到一类能带拓扑数可调的格点系统。 常规的Hofstadter模型只考虑最近邻格点间的复数跃迁，它破坏了时间反演对称性，从而实现非平庸的拓扑平带，拓扑数由非零陈数(Chern number)来标记。变体方案在不改动格点几何（仍然考虑正方格点）的前提下，引入次近邻的复数跃迁，通过调节最近邻及次近邻跃迁几率幅，可以得到丰富的相图，在每个相中拓扑非平庸能带的陈数都不同，并且可以对相进行简单的分类。在引入相互作用之后，通过计算发现，在不同相区可以获得具有不同填充数的分数拓扑态。分数拓扑态符合两个重要的证据：（i）基态简并，其简并度能够反映出填充能带流形的拓扑；（ii）基态与激发态之间存在明显的能隙，该能隙对扭转边界条件是鲁棒性的；（iii）作为分数量子霍尔态在格点系统中的对应，还要排除与分数拓扑有序态竞争的某些有序相的可能，例如电荷密度波。基于粒子数划分的基态纠缠谱是一个检验基态是否与分数量子霍尔态相类似的有效方法。他们提出的这种变体的Hofstadter模型，有可能在光晶格系统中实现，进而为实现可调拓扑能带和分数拓扑相提供一种途径。另外，他们还验证了当二维模型退化为一维系统后，分数填充的多体波函数呈现出类似电荷密度波的形式，这与（二维）分数量子霍尔态截然不同。
    相关的研究得到科技部973计划，国家自然基金委员会以及中国科学院的支持。该工作发表在近期出版的Physical Review Letters 111,186804 （2013）上。
    参看：http://prl.aps.org/abstract/PRL/v111/i18/e186804

图1  非对角Hofstadter模型的相图，坐标轴分别为对角（近邻）跃迁几率幅和非对角（次近邻）跃迁几率幅。不同颜色的区域表征具有不同陈数的相。（a）ϕ=1/3时的相图，有四个相，以相I为例，三个能带的陈数分别为(C1,C2,C3)=(1,-2,1)，而相IV的能带陈数则为(C1,C2,C3)=(-2,4,-2)；（b）ϕ=1/4时的相图，有六个相，例如，相I -- (C1,C2,C3,C4)=(1,1,-3,1)，相III -- (C1,C2,C3,C4)=(1,-3,5,-3).

图2  对于费米子系统，填充数为1/3 [(a)-(c)] 和1/5 [(d)-(f)] 时的分数拓扑态的数值计算结果。两种情况分别对应相图 [图1 (a)] 的相II和相I，以第二个能带作投影，对应的陈数分别为C2=1和C2=-2. 可以看到（a）情形的基态简并度为3，（d）情形的基态简并度为5. (b)、(e)两图示意了基态对于扭转边界条件的鲁棒性。(c)、(f)两图为粒子数纠缠谱，低能纠缠能级的数目与相应的阿贝尔分数量子霍尔态的情况一致。（对于玻色子系统可以的得到类似的结果。）

图3  当系统从二维退化到一维时的数值计算结果。对于费米子系统，仍可以得到由长程关联引起的基态简并现象，但由粒子数纠缠谱的计算结果来看，这类分数填充态的基态波函数更像是实空间中电荷密度波，说明它是一种与分数量子霍尔态完全不同的一类态。