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中国科学院物理研究所 T03组供稿 第4期 2017年01月18日
北京凝聚态物理国家实验室
自学习蒙特卡洛三部曲

引言

  对于凝聚态关联电子系统的正确描述,需要采用量子统计,因而系统的相空间大小,随自由度数目的增加指数增长。比如,自旋为1/2的关联电子系统,相空间为 4^N,其中N 为电子数目,当N=100 时,相空间的大小已是天文数字。希望在统计意义上遍历相空间,严格地得到系统的配分函数,不做近似(只有可控的系统误差),是蒙特卡洛计算孜孜以求的理想境界。只有不做近似,才能抓住凝聚态量子多体系统丰富的物理内涵,才能研究以量子相变和量子临界现象、拓扑相和拓扑序、高温超导体、量子自旋液体、量子自旋冰等为代表的强关联电子系统中涌现出的奇异量子现象。
  然而,对于一大类凝聚态多体系统,蒙特卡洛计算的效率很低,包括在临界点附近的临界慢化,在阻挫磁体中复杂而难以遍历的低能构型,也包括玻色子、费米子系统中多种相互作用导致的计算复杂度增大等情况。这些情况使得普通的蒙特卡洛局域更新策略束手无策,即使是高效的集团更新方法,也只能解决其中一些特殊的例子,没有普适的方案。
  最近,中科院物理所T03组博士研究生许霄琰和副研究员孟子杨,与麻省理工学院的沈汇涛、刘军伟、戚扬、傅亮一起组成的研究团队,发展出一套 “自学习蒙特卡洛方法 (Self-learning Monte Carlo method, SLMC)” [1,2,3],通过自我观照、自我学习蒙特卡洛构型,设计出更加有效的更新方法,解决了凝聚态量子多体系统蒙特卡洛仿真中一些诸如临界慢化和接收概率低等瓶颈性问题,推动了该领域的发展
为了说明问题,以描述磁性相变的伊辛模型为例,

(1)

  在二维的平方格点 上,第一项描述伊辛自旋之间的最近邻铁磁相互作用,对于这样的问题蒙特卡洛模拟可以完美求解:如果系统不在相变点上,局域的更新已经可以毫不费力地算出配分函数,从而得到各种热力学观测量。如果系统处在从高温的顺磁态到低温铁磁态的相变点上,局域更新会遇到临界慢化的干扰,不容易得到真正统计独立的蒙特卡洛自旋构型。临界慢化是指蒙特卡洛构型之间的关联随着系统尺度的增大而指数增长的现象,可以用自关联时间 τ 来描述,这里 τ 正比于 L^2.2, L 是 平方格点的线性尺度。也就是说,系统尺度越大,蒙特卡洛生成的自旋构型关联越强,得到的结果越偏离统计独立性,越不可信。为了解决这个问题,对于涨落强烈的临界点,人们设计出了非局域的集团更新方法,通过构建包含多个自旋的集团,同时翻转整个集团中的自旋构型,使翻转前后的构型统计独立,可以在一定程度上克服临界慢化(比如在二维伊辛模型的相变点,使用了集团更新后,构型之间的自关联时间变成 L^0.2)。集团更新之所以有效,正是因为其更新策略体现了对于系统自旋构型的正确认识。在相变点上,自旋构型涨落强烈,自旋关联长度发散,系统中具有很多同样自旋指向的集团,在各种尺度上存在。集团更新的办法,就是通过判断最近临自旋之间相对指向,考虑是否将两个自旋囊括到集团中,然后再接着判断和已有集团相连接的自旋,尝试将其囊括,逐渐扩展出去。集团的涨落,正是系统在相变点上临界涨落的体现,算法的设计抓住了临界点上的物理本质。
  但是,如果再考虑 模型H中的第二项,问题就变得更复杂了。第二项是多体相互作用(这里是 平方格点上的四体相互作用),实际材料中这类多体相互作用普遍存在,但对于上面讨论的集团更新策略,它却是灾难性的,因为集团更新是以两体相互作用为判断依据的,在多体相互作用下没法做集团更新,原来系统中的临界慢化、接收概率低等等问题会已更加严峻的形式出现。那么如何是好呢?这里,正是自学习蒙特卡洛方法出场的地方。先来讲讲三部曲中的第一部[1]。

图1:自学习蒙特卡洛路线图。(i),使用传统的更新办法生成足够多的蒙特卡洛构型。(ii),观察构型,用自学习的方法,从现有构型中拟合出有效模型,有效模型描述系统低能的物理,比原始模型易于模拟。(iii), 对于简单的有效模型,可以做集团更新,克服了原始模型的临界慢化等问题。(iv),将对于有效模型的更新反馈回到原始模型,其接收与否由细致平衡条件控制,这样一来保证了模拟的准确性(文献[1])。

自学习蒙特卡洛第一部:经典体系 ([1])

  自学习蒙特卡洛方法的发展受到机器学习(machnine learning)的启发。虽然现在的模型不能进行普通的集团更新,但是总是可以用局域更新的办法对其进行模拟(起码在远离相变点的地方),总是可以通过这样的模拟生成足够多的合理的蒙特卡洛构型;然后再来观察这些构型,这些合理的构型,总可以认为是一个有效模型 Heff通过蒙特卡洛模拟而生成的,

(2)

这个有效模型Heff比原始模型 H 简单,只包括两体相互作用。那么既然我们手头上已经具有足够多的原始模型 H 的构型,何不就用这些构型对于有效模型 Heff 做一个拟合,对于每一个构型,要求

H=Heff,(3)

  因为构型足够多,我们总能以很高的置信度得到拟合参数,也就是有效模型中的自旋相互作用参数 {E0, J1~, J2~, …} 的具体值。这里所说的,其实就是图1“自学习蒙特卡洛路线图”中的 (i) 和 (ii)。有了有效模型 Heff 中的参数,因为其只有两体相互作用,我们可以放心大胆地在它身上运用集团更新的方法,模拟有效模型,这样一来,临界慢化和接收概率低等等问题就有希望被克服,就是图1中的 (iii)。那么到底能否被克服呢?我们来看图1中的 (iv),这里我们运用细致平衡条件,把有效模型的更新反馈给原始模型,在原始模型眼中,将自旋构型 A 更新到自旋构型 B,这个动作会以多大的概率被接收,要看如下公式,

(4)

  接收概率 P(A->B), 实际上要通过构型 A和B 之间的能量差来决定。如果不做自学习,E(B)-E(A) 可能是一个很大的数,造成 exp(-β(E(B)-E(A))) 很小,故而接收概率很低;但是自学习蒙特卡洛的妙处,就在于即使 E(B)-E(A) 很大,但是只要有效模型拟合得足够好,E(B)-E~(B) 可以很小,同理,E(A)-E~(A) 也可以很小,故而 (E(B)-E~(B)) ~ (E(A)-E~(A)) ~ 0, 接收概率 P(A->B) ~ exp(0) ~ 1,总是接收。这样一来,自学习蒙特卡洛既通过有效模型的集团更新克服了原始模型在相变点处的临界慢化,又通过有效模型是原始模型的低能近似的事实,保证了近乎完美的接收概率。
  图2画出对于Eq.(1) 中的模型,取参数K/J=0.2, L=40 时, 在其顺磁到铁磁的相变点上,系统磁矩的蒙特卡洛自关联函数。横轴是蒙特卡洛的步数 Δ t,自关联函数随着 Δt 衰减越慢,说明构型之间的关联越强,自关联时间 τ 就越大。我们看到,在这里,如果运用局域更新原始模型H(Local), τ 起码是 400步蒙特卡洛的量级,这是典型的临界慢化;如果运用集团更新原始模型 H (Naive-Wolff),虽然好一点,但是因为对于 H 中四体相互作用 K项集团更新无法照顾到, τ 仍然是 200步蒙特卡洛的量级;只有用到了自学习蒙特卡洛 ,因为既有有效模型的集团更新,又有近于1的接收概率, τ 降到了15步蒙特卡洛,比局域更新加速了 24倍。

图2: 自学习蒙特卡洛在经典系统中的结果。对于Eq.(1) 中的模型,K/J=0.2, L=40, 在其顺磁到铁磁的相变点上,系统磁矩的蒙特卡洛自关联函数。Δt 是蒙特卡洛的步数。Local 是用局域更新计算原始模型H 的结果,明显地看到临界慢化;Naive-Wolff 是用集团更新计算原始模型 H的结果,由于四体相互作用 K项集团更新无法照顾到,仍然明显地临界慢化;Self-learning 是用自学习蒙特卡洛计算的结果,因为既有有效模型的集团更新,又有近于1的接收概率,自关联时间明显减小,加速24倍(文献[1])。

  文献[1]中的模型稍嫌简单,虽然自学习方法的思想已蕴藏其中。在三部曲的第二、第三部(文献[2], [3]),我们将自学习蒙特卡洛推广到更加复杂但是更加贴近凝聚态量子多体系统实际的模型里,取得了很好的效果,下面简要描述之。

自学习蒙特卡洛第二部:费米子体系中的自学习蒙特卡洛 ([2])

  依前所述,“量子”特性导致了蒙特卡洛方法对凝聚态多体系统的统计性质的研究更加困难,而费米子的泡利不相容原理则进一步使得对费米子体系的研究雪上加霜。蒙特卡洛的基本特性是按照体系特定的概率分布进行抽样,也就是基于构型相应的权重(能量)来实现在相空间的行走,从而实现构型的更新。对于经典体系或者玻色子体系,给定构型的权重计算可以在一个常数时间内完成,即计算时间不依赖于体系的尺寸,但是对于费米子体系,同样的计算所需要的时间则按照体系尺寸的三次方增长。这样的特性导致费米子的蒙特卡洛研究变得极其困难。而我们提出的自学习蒙特卡洛方法则可以很好的克服这个困难。利用自学习蒙特卡洛方法,我们用一个有效的波色子模型来代替原来的费米子模型,更好地指导构型在相空间的行走。具体的做法是,利用有效模型进行很多步的相空间的局域行走之后,把得到的新构型作为原始模型的试探构型,再使用细致平衡条件,使得试探构型以很高的概率接收,从而极其高效地实现原始模型的构型更新。显而易见,我们的方法通过自学习训练有效模型,并据此指导构型更新,而有效模型的构型更新又十分的廉价和迅速,从而可以极大地提高蒙特卡洛的实际运行速度,可以实现对更大体系的模拟研究。我们把有效模型指导下的连续不断的更新称为cumulative update(累积性更新)。
  这种结合累积性更新的自学习蒙特卡洛方法可以普遍地适用于所有费米子体系,也包括同时具有费米子和波色子相互作用的体系。并且,对于尺寸越大的体系,增速的效果越明显。我们基于双交换模型,进行了新方法的测试。如图所示,对于8×8×8大小的立方晶格中,新的方法可以轻松达到上千倍的加速效果。

图3: 自学习蒙特卡洛在费米子双交换模型中的结果。传统方法(Conventional)和自学习蒙特卡洛(SLMC)对于双交换模型在不同大小的立方晶格中的效率比较。横轴是三维立方晶格的尺寸(L×L×L),纵轴是以费米更新步数为单位的自关联长度,正比于得到两个统计独立的构型所需要的实际计算时间。显而易见,对于传统方法,随着体系尺寸增大,需要的计算时间指数上升;而对于自学习蒙特卡洛,计算时间几乎不依赖尺寸,而且远远小于传统方法。更重要的是,尺寸越大,加速倍数也越大(文献 [2])。

自学习蒙特卡洛第三部:自学习行列式蒙特卡洛 ([3])

  巡游费米子的量子临界性质是强关联电子领域的一个重要研究课题。巡游费米子量子临界点在很多过渡金属氧化物、重费米子等材料的超导、非费米液体等行为中扮演重要角色。由于问题的复杂性,以微扰论为代表的解析方法,无法给出定量正确甚至是定性正确的结果,近年来量子蒙特卡洛方法的发展使得数值求解这一类问题成为可能。例如,我们考虑一个描述金属中的Ising铁磁量子临界点模型,其中金属中的Ising铁磁量子临界点通过玻色场与费米面的耦合引入,利用行列式蒙特卡洛(Determinantal quantum Monte Carlo, DQMC),我们可以数值求解这个模型。但是,我们发现常规的行列式蒙特卡洛算法在相变点上会遭遇严峻的临界慢化问题。此时,利用自学习蒙特卡洛方法就可以彻底解决这个困难。图4显示的是在有限温度的Ising 铁磁相变点上,常规行列式蒙特卡洛(DQMC)与自学习行列式蒙特卡洛(Self-learning Determinantal quantum Monte Carlo, SLDQMC)的构型之间的自关联时间随着系统线性尺度(L)的变化。

图4:自学习蒙特卡洛在巡游关联电子系统中的结果。如果使用常规行列式蒙特卡洛(DQMC),由于算法只能使用局域更新,其构型之间的自关联时间 τ~L^2.1, 这是典型的临界慢化;使用自学习行列式蒙特卡洛(SLDQMC),归功于累积性更新和理想的接收概率,临界慢化被完全消除。而且,计算的复杂度被降低,使得原本无法期盼的系统尺度 100x100 变得可能模拟 (文献 [3])。

  在图4中使用了对数坐标,横轴是系统线性尺度,纵轴是蒙特卡洛自关联时间,可见,自学习行列式蒙特卡洛(SLDQMC)方法的蒙卡自关联时间不依赖于系统的线性尺度,临界慢化问题得到根本解决。更有意思的是,计算复杂度也被大大降低,在特定温度下,SLDQMC 和 DQMC 相比,可以得到N倍的加速(N=LxL 是二维晶格的大小),从而使得我们可以计算二维 L=100 这种费米子量子蒙特卡洛计算中前人无法期盼的系统尺度。

结语

  通过自学习蒙特卡洛三部曲,从经典系统[1],到巡游费米子与经典自旋的耦合(双交换模型)[2],再到巡游费米子的量子多体系统[3],我们一步步地看到,自学习蒙特卡洛比传统的蒙特卡洛方法大大前进了一步。通过观察蒙特卡洛构型,用自学习的方法,可以拟合出描述系统低能物理的有效模型,相比于原始模型,有效模型易于模拟,而且可以通过对于有效模型的累积性更新,克服临界慢化的难题;更有意思的是,我们可以善用细致平衡条件,使得通过有效模型对于原始模型的更新,保持近乎完美的接收概率。由于这两个优势,自学习蒙特卡洛可以极大地减少计算复杂度,在困难的凝聚态量子多体问题中,获得上千倍的加速。比如在第二和第三部中,对于相互作用的费米子体系,100x100 的晶格已经可以模拟,这是领域内期盼多年的结果。对于凝聚态量子多体系统中的一些基本问题,现在有望给出更加确定性的回答。

参考文献:
[1]. Self-Learning Monte Carlo Method,
Junwei Liu, Yang Qi, Zi Yang Meng, Liang Fu,
Phys. Rev. B 95, 041101(R) (2017)

[2]. Self-Learning Monte Carlo Method in Fermion Systems,
Junwei Liu, Huitao Shen, Yang Qi, Zi Yang Meng, Liang Fu,
arXiv:1611.09364 [cond-mat.str-el]

[3]. Self-Learning Determinantal Quantum Monte Carlo Method,
Xiao Yan Xu, Yang Qi, Junwei Liu, Liang Fu, Zi Yang Meng,
arXiv:1612.03804 [cond-mat.str-el]

致谢:
  这一系列工作得到了国家青年千人计划、科技部国家重点研发计划(2016YFA0300502),国家自然科学基金(11421092, 11574359)的支持。蒙特卡罗模拟所需的并行计算在中国科学院物理研究所量子科学模拟中心、天津国家超算中心天河 1号平台上完成,计算过程中得到了天津国家超算中心的有力配合,在此感谢。


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